Download PDF by Günter Meinardus: Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung

By Günter Meinardus

ISBN-10: 3642856462

ISBN-13: 9783642856464

ISBN-10: 3642856470

ISBN-13: 9783642856471

Erst in den letzten Jahren hat sich derjenige inform der Approximations theorie, der sich auf numerische Fragestellungen anwenden liiBt, starker entwickelt. Das Prinzip der in einem gewissen Sinne besten Anniiherung von Funktionen gewann insbesondere durch die Verwendung elektro nischer Rechenmaschinen an Bedeutung. Einige der theoretischen Grundlagen, die zur Behandlung der auftretenden Probleme herange zogen werden mussen, finden sich verstreut in wenigen Buchern. Der weitaus gr6Bte Teil der theoretischen und praktischen Untersuchungen ist jedoch nur in den Originalarbeiten nachzulesen. Hieraus ergab sich die Zielsetzung des vorliegenden Buches: Es sollte eine Zusammen stellung der wesentlichen Ergebnisse der Approximationstheorie gegeben werden, die einerseits ein rasches Eindringen in die modernen Entwick lungen dieses Gebietes ermoglicht und andererseits eine gewisse Voll stiindigkeit auf dem Problemkreis der Tschebyscheff-Approximationen bietet, womit keineswegs gemeint ist, daB eine vollstiindige Literatur ubersicht angestrebt wurde. Die Auswahl erfolgte stets nach dem immer noch subjektiven Gesichtspunkt der Bedeutung fiir die Anwendungen. Dies gilt z. B. auch fur die asymptotischen Untersuchungen des three, denn ich bin der Meinung, daB guy sich auch beinumerischen Approximationen uber die, wenigstens asymptotisch zu erwartende Genauigkeit Gedanken machen sollte. quick ausschlieBlich habe ich mich auf die Theorie der gleich miiBigen Approximation beschriinkt, da diese die weitaus groBte prak tische Bedeutung besitzt. Das erste Kapitel behandelt lineare Approximationen. Der three ent hiilt wohl den heute kiirzesten Zugang zur linearen Theorie.

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Wird zur Abkurzung gesetzt, so soU die Matrix in jedem Punkt von B - B den Rang n haben. 3. Betrachtet man die Funktionen u. nur aul B, so soll der Raum V die Haarsche Bedingung erluUen (die Dimension von V soll aul B und B dieselbe sein) . 1st IEC(B) und mit stetigen ersten partiellen Ableitungen nach allen Variablen in B - B versehen, so gibt es genau eine M inimallosung lur I bezuglich V (in B). Beweis: Man darf annehmen, daB I nicht in V enthalten sei. Es seien ferner n n fIJI = ~ IX. u. und flJ2 = ~ P.

I. 27) * Bei der Polynomapproximation im Intervall [-1, + 1] verwenden wir an Stelle von en(f) das iibliche SymboIE,,(f). Liegt ein Intervall [a, b] vor, so wird manchrnal auch En (I; a, b) geschrieben. 3. "+ - a. x - Ivl =1, d. h. 27) untersucht man die Argumentanderung von v" a. v auf dem Einheitskreis und verwendet dann das Alternantenkriterium (Satz 23). 4 fUr einen allgemeineren Fall durchgefiihrt. Die Alternante von _1_ bex-a steht aus den Punkten +1 und -1 sowie ffir n>O aus den Nullstellen des Polynoms (vgl.

N, P(+1, T) = (_1),,+1 it, ( OP(X,T)) " uX Ffir T _ s=s", ,u = 1, 2, ... , n. -0, = 0 folgt: p:re ,u=1,2, ... ,n, xp(O)=-cos n+1' it (0) = (-1)"+1. ;". In einer Umgebung von T=O hangen alle diese GroBen analytisch von T abo Durch Differentiation ergibt sich ein System gewohnlicher Differentialgleichungen ( oP(x, OT T))z=-l = it' (T), (OP~:'T)t=z.. = (-it it' (T), ( oP(x, OT ,u=1,2, ... -) • " 2 " " r ux z=z.. uX uT z=z.. ,u = 1, 2, ... , n. B. Werte der Ableitungen an der Stelle T=O berechnen.

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by Robert
4.4

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